Beklenen fayda maksimizleyicileri faydayı en üst düzeye çıkarmaz.
28 Mayıs 2025
Ergodiklik ekonomisi, ergodiklik problemini dikkatlice göz önünde bulundurarak ekonomi araştırmalarındaki sorunları ele almak için bir şemsiye terimidir - bir şeyin beklenen değerinin zaman ortalamasından farklı olabileceği sorunu budur. Alanın ekonomi tarihi içindeki önemini gösteren önemli bir bulgu, fayda işlevleri ve ergodiklik dönüşümleri arasındaki eşlemedir. Bu haritalama, fayda işlevlerinin gerçekten nereden geldiğine dair fiziksel (psikolojik olarak) bir yorum sağlar. Ayrıca beklenen fayda teorisinin zayıflığını vurgular: Beklenen fayda teorisinin reçetelerini takip eden ajanlar uzun vadede faydayı en üst düzeye çıkarmazlar; Öte yandan ergodiklik ekonomisi reçetelerini takip eden ajanlar, uzun vadede faydayı en üst düzeye çıkarırlar.
Belki de sorunu açıklamanın en basit yolu düşünmektir rezil madeni para atışı. Burada, zaman geçtikçe beklenen servet yükselirken, servetin uzun vadede düşmesi garanti edilir. Beklenen fayda teorisi açısından bu sorunludur. Doların doğrusal olmayan bir fonksiyonu olmayan, sadece dolarları önemseyen, riskten bağımsız bir ajan anlamına gelen doğrusal bir fayda ajanı hayal edin. Çünkü servet o zaman faydalı, beklenen Fayda, meşhur para atışında artar, ancak yardımcı olur kendisi aşağı inmesi garanti edilir. Sonuç olarak: Yardımcı programı en üst düzeye çıkarmak istiyorsanız, beklenen fayda en üst düzeye çıkarmak için kötü bir şeydir.
Bu tekrar söylemeye değer: Yardımcı program istiyorsanız, optimize etmeyin beklenen Yardımcı yararı çünkü Gerçek yardımcı programı kaybetmek zorundasın. Bu nasıl mümkün olabilir? Kırık ergodiklik. Beklenen fayda, istatistiksel topluluk üzerinde ortalama ve pembe görünüyor. Ancak, istatistiksel topluluk üzerindeki ortalamaya, sadece bir farkındalık için erişiminiz yok. Ve her bir gerçekleştirmede, zaman geçtikçe kaybetmeniz garanti edilir. Eğer bu şaşırtıcı ise, ergodik ekonomi sizin içindir. Her şey bu derin bulmacayı anlamak ve modern matematiksel modeller aracılığıyla gerçek dünyayı anlamak için anlayışımızı kullanmakla ilgilidir.
Mini Karar Teorisi Tarihi
Beklenen-Değer Teorisi
Tarihsel olarak, risk altındaki insan davranışının ilk tamamen nicel modeli (1650'ler) beklenen değer teorisi (EVT) idi. Basit kumar görevleri bağlamında icat edildi. Diyelim ki birisi bana böyle bir kumar sunuyor ve EVT çerçevesini uygulamak istiyorum. Bu adımları takip ederdim:
1. Gamble, olası değerleri dolar servetindeki olası net değişiklikler (net-kazan 5 $ veya net-lose 3 $ gibi) olan (adil bir madeni para atışı için 50/50 gibi) rastgele bir değişken olarak modelleyin.
2. Rastgele değişkenin beklenen değerini hesaplayın.
3. Bu olumlu ise, kumar kabul edin; aksi takdirde reddedin.
Beklenen fayda teorisi
Yakında bu modelin gerçek insanların ne yaptığının iyi bir açıklaması olmadığı fark edildi. Çoğu zaman, beklenen olumlu değere sahip kumarları reddederiz. Bu farkındalık beklenen faaliyet teorisinin (EUT, 1730'lar) gelişimine yol açtı. Bu çerçevede, insanların paraya doğrusal olarak değer vermedikleri öne sürülmektedir. Bunu yansıtmak için bir "yardımcı işlev" u (x) tanımlanmıştır. Servetle artar, Xve genellikle beklenen değer teorisinin başarısızlığını açıklamak için doğrusal değildir. Örneğin, kamu hizmeti işlevi tipik olarak kabul edildiği gibi içbükeyse, belirli bir dolar kaybı faydayı aynı boyuttaki bir dolar kazancından daha fazla azaltır. İki yüz yıl sonra, alliteratif ifadesi “kayıplar kazançlardan daha büyük görünüyor” olarak yeniden paketlendi.
Beklenen fayda teorisinin adımları, beklenen değer teorisine çok benzer.
1. Değişiklikleri modelleyin faydalı rastgele bir değişken olarak (dönüşüm tarafından verilir u (x) ).
2. Beklenen değerini hesaplayın.
3. Beklenen hizmet değişikliği olumlu ise kumar kabul edin.
Beklenen fayda teorisinden gelen mesaj şudur: Doları gerçekten umursamıyorsunuz, dolarların yararlılığını önemsiyorsunuz.
Beklenen fayda teorisinin vaadi, elbette: fayda işlevinizi belirtin, biçimciliğe yapıştırın, formalizmin size söylediklerini takip edin ve faydayı en üst düzeye çıkaracaksınız (muhtemelen servet olmasa da).
Ancak EUT sözünü tutmaz. Bunu hemen görebilirsiniz: Yardımcı fayda zenginliğin artan bir işlevidir. Doğrusal değil, ama yine de daha fazla servet tercih ediyoruz. Bu nedenle, daha fazla servet her zaman daha fazla fayda anlamına gelir. Beklenen fayda çerçevesi serveti en üst düzeye çıkarmazsa, o zaman da faydayı en üst düzeye çıkarmaz.
Peki neler oluyor? Bir saniyede, açık bir örnek hesaplamasından geçeceğiz, ancak bunu yapmadan önce, sorun şu: Beklenen fayda teorisi en üst düzeye çıkar beklenen Fayda. Ama beklenen bir şey çok garip bir şey - fiziksel olarak (eğer doğru kelime bu ise), paralel evrenlere göre ortalama bir. Belki de hemen fiziksel gerçek dünya anlamı olmadığını söylemek daha iyidir. Sonuç olarak, bunu en üst düzeye çıkarmak gerçek dünya hakkında hiçbir şey garanti etmez; Sadece varsayımsal olarak mümkün olan dünyaların matematiksel bir topluluğu hakkında. Bazen böyle bir hayali topluluk gerçek dünyadaki önemi vardır, ancak eğer durum buysa, sadece varsayılmamış, dikkatle kurulmalıdır.
Kaldıraç Sorunu
Bunların hepsi biraz soyut olduğundan, somut bir hesaplamaya geçelim. Örnek, her ergodiklik ekonomistinin veya gerçekten de finans öğrencisinin, eğitiminde erken bir yerde gören standart bir sorundur - kaldıraçlı geometrik Brown hareketi.
Burada, bir ajan, değeri olan riskli bir varlığa maruz kalmasını seçerek ne kadar risk alacağına karar verir, y (t), Geometrik Brown hareketini takip eder,
(Denk. 1) Dy = y ( mu dt + sigma dw),
Her zamanki isimlendirme ve gösterim ile: Mu Drift olarak adlandırılır, Sigma oynaklık, T zaman ve DW bir wiener sürecidir.
Temsilci, bu varlığa yatırım yapmak için servetinin ne kadarını seçer-bu sözde kaldıraç sorunudur. Başka bir deyişle, ajan kaldıraç seçer, Lservet sürecinde
(Denk. 2) dx = lx ( mu dt + sigma dw).
Basitlik için, burada risksiz faiz oranının sıfır olduğunu varsaydık - ajan ücretsiz ödünç alabilir ve mevduat için hiçbir şey alamaz. Sonuç olarak, ajan riskli varlığa hiçbir şey yatırmayı seçmezse, l = 0hiçbir şey kazanmayacak ve servet sabit, DX = 0. Kaldıraç ile l = 1Her Şey Riskli Varlığa Yatırım Yapılır ve EQ.2 Tıpkı EQ.1 gibi görünüyor ve kaldıraçla l = 2 Temsilcinin servetinin hem sürüklenmesi hem de oynaklığı, riskli varlığın iki katı büyüktür, vb.
Ergodiklik ekonomisi çözümü
Ergodisite Ekonomisi bize kaldıraç problemini nasıl çözeceğimizi anlatıyor Uzun vadede en büyük serveti garanti eden kaldıraç seçerek. Küçük bir ITO hesapından sonra zaman-optimal kaldıraçta geliriz,
(Denk. 3) l _ { text {opt}}^{ text {ee}} = frac { mu} { sigma^2}.
Bu kaldıraçta servetimiz x (t) Zaman geçtikçe diğer kaldıraçlardan daha hızlı büyür.
Beklenen fayda teorisi çözümü
Beklenen fayda teorisi kavramsal olarak farklıdır: serveti en hızlı büyümesini sağlayan kaldıraç değil, beklenen faydayı en üst düzeye çıkaran kaldıraç bulur. Fayda servette monotonik olduğundan, ergodiklik ekonomisinin önerilerini izleyen ajanların uzun vadede beklenen fayda ajanlarından daha fazla fayda elde etmeleri garanti edilmektedir.
Bu biraz çılgınca-beklenen fayda teorisi, insanların fayda elde etmesine yardımcı olmaktan gurur duyar ve ergodiklik-ekonomi genellikle servete odaklandığı için eleştirilir. Bununla birlikte, ergodiklik ekonomisi sadece daha fazla servet değil, aynı zamanda uzun vadede daha fazla fayda garanti eder.
Bunu, aşağıdaki forma sahip olan izoelastik yardımcı programlar adı verilen popüler bir hizmet işlevi sınıfı için EUT'ye (beklenen faydayı en üst düzeye çıkaran) göre optimal kaldıraç hesaplayarak gösteriyoruz.
(Denk. 4) u (x; ve) = frac {x ^ {1- ve} -1} {1- ve}-
Neresi Ve genellikle riskten kaçınma parametresi olarak adlandırılır-ne kadar büyük olursa, bir EUT ajanı riskten o kadar fazla uzaklaşır. Servet Dinamik, EQ.2 göz önüne alındığında, şimdi bu fayda fonksiyonunda beklenen değişikliği hesaplıyoruz ve daha sonra maksimize edildiği kaldıraç buluyoruz. EQ.4'te yardımcı program işlevini kullanarak, yardımcı programdaki değişiklikleri bulmak için ITO formülünü uyguluyoruz,
(Denk. 5) Du = frac { kısmi u} { kısmi x} dx+ frac { kısmi u} { kısmi t} dt+ frac frac { kısmi^2 u} {0} { sout {dx dt}}+ frac {dx dt}}+frac {1 {dx dt}}+frac {1 {dx dt}}+frac {1 {dx dt}}+frac {1} u} { kısmi t^2} ovset {0} { sout {dt^2}}+ frac {1} {2} frac { kısmi^2 u} { kısmi x^2} (dx)^2+ text {hot {hot {hot {hot {
= frac { kısmi u} { kısmi x} dx+ frac {1} {2} frac { kısmi^2 u} { kısmi x^2} (dx)^2+ metin {hot}= frac { kısmi u} { kısmi x}+ frac {1} {2} frac { kısmi^2 u} { kısmi x^2}]+ text {hot} .
Ardından, üst düzey terimleri (sıcak) bırakırız ve fayda fonksiyonunun birinci ve ikinci türevlerini değiştiririz. Bunlar frac { kısmi u} { kısmi x} = x^{- eta} Ve frac { kısmi^2 u} { kısmi x^2} =- eta x^{- eta-1}.
EQ.5'in yerine geçerek, yardımcı program değişikliklerinin
(Denk. 6) siz = x^{1- eta}
Fayda değişikliğinin beklenen değeri artık önemsiz bir şekilde hesaplanmıştır (sadece terimi bırakma anlamına gelir. DW) gibi
(Denk. 7) E (Du) = x ^ {1- ve} (l mu- frac { eta} {2} l ^ 2 sigma ^ 2) dt.
Sadece kaldıraç açısından en üst düzeye çıkarmak kalır,
(Denk. 8) fac {e (du)} {dl} = x ^ {1- ve} ( mu- ve sigma ^ 2l) dt-
Hangisi sıfır
(Denk. 9) mu = eta sigma^2 l -
EUT-optimal kaldıraç ima etmek
(Denk. 10) l _ { text {opt}}^{ text {eut}} = frac { mu} { eta sigma^2}.
Bu EUT-Optimal kaldıraçının değeri, burada riskten kaçınma parametresi ile temsil edilen, aracısının yardımcı fonksiyonu tarafından ayarlanır. Ve. Ajanın psikolojisine ve içsel tercihlerine bağlı olarak, EUT-optimal kaldıraç negatiften pozitif sonsuzluğa kadar herhangi bir değer alabilir. Bu nedenle, küçük değer aralığı dışında 0EUT'a göre davranan bir ajan servetini yok edecektir, çünkü servetin sistematik olarak katlanarak hızlı bir şekilde kumar oynadığı bir kaldıraç seçecektir. Bu EUT'un utanç verici bir özelliğidir. Zenginliği ve dolayısıyla en üst düzeye çıkarmayı amaçladığı faydayı yok eder.
Optimal iki kavram
Artık iki optimal çözümümüz var: EE çözümü maksimum garanti ediyor gerçek Zenginlik ve Maksimum gerçek uzun vadede faydalı; EUT çözümü maksimum garanti eder beklenen ancak bu gerçek servet ve gerçek fayda ile ilgisi yoktur.
Bu denklemlerin ne anlama geldiğini keşfetmenize izin vermek için, Risk Kullanım Parametresini ayarlayarak bir yardımcı program işlevini seçebileceğiniz aşağıda uygulama 1 yazdık. Ve ve simüle etmek istediğiniz zaman ölçeği. Ne olduğunu görmek için "Plot Fayda Fonksiyon" u (x) Görünüşe göre. Ardından, “Aracıları Simulate” tuşuna basın: Ajanlar optimallik kriterlerine göre kaldırıldıkça iki ajanın serveti ve kamu hizmetleri görüntülenecektir (riskli varlık EQ.1'i takip eder. Mu = 0.05 Ve sigma = 0.2). Bir ajan kaldıraçını EE'ye (mavi çizgiler) göre, diğeri Eut'a (turuncu çizgiler) göre seçer. Tabii ki, her zaman sonlu olan bir simülasyonda, EUT ajanının EE ajanından daha fazla fayda sağlama şansı vardır. Uzun süredir sınırda, EUT ajanı fayda işlevi olarak kullanmadıkça, ergodiklik dönüşümü olarak adlandırdığımız bir şey kullanmadıkça (içsel tercihlerle değil, dinamik tarafından belirlenir). Bu özel durumda, EUT ajanlarının tam olarak EE ajanları gibi davranması garanti edilir. Bu yüzden EUT'un EE'den daha az faydaya yol açtığı meraklı duruma varıyoruz; Ya da EUT, EE'ye eşdeğer olacak şekilde sınırlıdır, bu durumda EUT ajanları EE ajanlarıyla aynı faydayı elde eder.
Uygulama 1: Riskten kaçınma parametresini ayarlayın Ve ve simüle etmek istediğiniz zaman.
Bu, EUT'un EE'nin ötesinde neler sunacağı sorusunu gündeme getiriyor. EUT, doğası gereği bir eğriye uyan egzersizdir: fayda işlevini tahmin edecek hiçbir şey yoktur ve insanların neden sahip oldukları fayda işlevine sahip olduklarını açıklayacak hiçbir şey yoktur. Ayrıca, yirmi yıllık ampirik çalışmayı inceleyerek, bunun sonucuna vararak, büyük bir çalışma ile çok kötü bir şekilde yapıldığı da bulundu.Örnek dışı tahmin etme gücü yoksul ila var olmayan aralıktadır."
Burada gösterdiğimiz gibi, EUT yapmak için belirlediği şeyi yapamaz: Yardımcı Programı Maksimum. Bunu göz önünde bulundurarak, EUT'un ampirik başarısızlığı daha az şaşırtıcı olabilir.
EE farklıdır. Ergodiklik dönüşümü dinamikler tarafından belirlenir, serbest bir parametre değildir ve bu düzeyde hiçbir uydurma söz konusu değildir. EE oldu Davranışı tahmin etmede başarılı oldum.
Belki de EE, EUT'un neden başarısız olduğunu açıklar, öngörücü bir şekilde konuşur: EUT dinamikleri dikkate almaz, ancak insanların yaptıkları gibi davranmaları için önemli bir nedendir. Fayda işlevinin gözlemlenen davranıştan çıkarılması (ekonomide “açıklanan tercihler” olarak adlandırılır) öngörücü bir anlamda çok anlamlı değildir, çünkü gözlemlenen bir bireyin dinamik koşulları, fayda fonksiyonunun tahmin yapmak için kullanıldığı zamana kadar değişebilir.
EE'nin güzelliği, neden ne yaptığını, ne açıkladığını ve ondan hangi tahminleri bekleyebileceğimizi tam olarak bilmemizdir. EE tarafından sunulan perspektif, EUT söz konusu olduğunda bizi keskin bir seçim bırakıyor. Ya EUT zaman içinde faydayı en üst düzeye çıkaramaz ve yargılama d'Etre'ye meydan okur; Ya da EUT tam olarak ergodiklik ekonomisi haline gelir, bu durumda hiçbir şey eklemez.
Bu gönderinin tadını çıkardın mı? riskli eğrilerin yazarları tarafından seminer.
Ergodiklik ekonomisini merak ediyor musunuz? Ders kitabını öneriyoruz Ergodiklik ekonomisine giriş.
Ayrıca isteyebilirsiniz Posta listemize katılın Her şey için ergodiklik ekonomisi.
Referanslar:
Bkz. Bölüm 10, Ergodisite Ekonomisine Giriş (2025)O. Peters ve A. Adamou.
Bkz. S.3, Riskli eğriler - beklenen faydanın ampirik başarısızlığı üzerine (2014), D. Friedman, RM Isaac, D. James, S. Sunder.