“Saf Matematiğin Çözülemeyen En Önemli Problemi”: İnsanlık Asal Sayıların Neresinde?

Gerçek bundan daha farklı olamazdı. Sayı teorisyeni şöyle açıklıyor: “Asal sayılar, çarpma açısından en temel ‘temel’ sayılardır” Adam HarperWarwick Üniversitesi Matematik Enstitüsü’nde profesör. “Örneğin, her pozitif tam sayı, bazı asal sayıların çarpımı olarak tam olarak tek bir şekilde ifade edilebilir.”

“Asal sayılar […] binlerce yıldır inceleniyor” diyor ve şöyle devam ediyor: “Dolayısıyla bunlar hakkında hâlâ çok iyi anlamadığımız pek çok sorunun olması çok kışkırtıcı.”

Asal sayılar aranıyor

Kolay tanımları ve en azından yüzeysel olarak basit özellikleriyle asal sayıların incelenmesi matematiğin en eski günlerine kadar uzanır. Yaklaşık 22 yüzyıl önce Eratosthenes zaten sayı doğrusunda asal sayıları bulmanın bir yolunu arıyordu; “Eratosthenes süzgeci” hala daha küçük asal sayıları bulmanın en etkili yollarından biri ve temel soru şu: “Hangi sayılar asaldır?” – henüz çözülmedi.

“Süzgeçler modern analitik sayı teorisinde hayati bir araçtır. Her zaman kullanılırlar” diyor James MaynardOxford Üniversitesi Matematik Enstitüsü’nde Sayılar Teorisi Profesörü ve, 2022’deAsal sayıların yapısını anlamaya yönelik çalışmalarından dolayı Fields Madalyası’nı kazandı.

“Aslında Eratosthenes süzgecinin en önemli sınırlaması bu; çok iyi çalışıyor!” açıklıyor. “Çünkü Eratosthenes’in süzgeci sana şunu söylüyor: Kesinlikle Hangi sayılar asaldır, teorik olarak neler olup bittiğini anlamak kabaca asal sayıları anlamak kadar zordur.”

Asal sayıların gizeminin diğer kısmı da burada yatıyor – çünkü bunlar matematiğin tüm yapısı için önemli olsalar da, bu aslında onların popülerliğinin nedeninin sadece yarısı.

Asal sayılar basit olabilir; ancak daha önce de gördüğümüz gibi, bunları çevreleyen sorular akıl almaz derecede karmaşıktır. Maynard, IFLScience’a şunları söylüyor: “Asal sayıları ‘mükemmel’ olarak hiçbir zaman anlayabileceğimizi sanmıyorum.” “Onların doğası gereği karmaşık sayılar olduğunu ve mükemmel bir yapıya sahip olmadıklarını düşünüyorum.”

neredeyiz

Peki, elimizdeki binlerce yıllık çalışmayla, bu temel sorunların tam olarak neresindeyiz? Peki, ile birkaç istisnaçoğu hala kanıtlardan kaçıyor – ancak Harper, IFLScience’a “ilerleme kaydedildi” dedi.

Geçtiğimiz on yıl, ikiz asal varsayımın çözümüne yönelik hareketlere tanık oldu; örneğin; önce Yitang Zhang’ın, aralarında en fazla 70 milyon fark bulunan sonsuz sayıda asal sayı çiftinin bulunduğunu kanıtlaması, ardından matematikçilerin bu kabul edilen büyük sınırı düşürmeyi amaçlayan çılgınca çalışmaları ile.

Asal sayı alanında aktif olan bir diğer Fields madalyalı Terence Tao, “Bazen sınır her 30 dakikada bir düşüyordu” dedi. Kaç tane dergi 2013’te. Birkaç ay içinde 4.680’e geriledi; Kısa bir süre sonra Maynard, maksimum farkı elde etmek için yeni eleme tekniklerini kullandı. sadece 600. Şimdi, Tao ve “Polymath Projesi” işbirliği sayesinde, 246’da duruyor.

Maynard, IFLScience’a şunları söyledi: “Eleme yöntemlerinin en önemli faydası, çok esnek olmalarıdır, böylece toplama ve çarpmayı karıştıran İkiz Asal Varsayım veya Goldbach Varsayımı gibi zorlu problemler hakkında bir şeyler söyleyebilirler.”

“Bu karışım, diğer birçok tekniğin bu durumda hiç işe yaramadığı anlamına geliyor” diye açıklıyor.

Asal sayılara yönelik kombinatoryal ve olasılıksal yaklaşımlar da benzer şekilde meyve veriyor. 1970’lerden bu yana asal sayıların dağılımı, aşağıdakileri tanımlayan aynı türden rastgele ölçümlerle ilişkilendirilmiştir: kuantum sistemler – keşfedilenlerin çoğu gerçek teoremlerin yetersiz olmasına rağmen. Ancak son zamanlarda bu durum değişmeye başladı: Matematikçiler sayı doğrusunda yalnızca nispeten küçük aralıkları alarak gerçek anlamda rastgele davranışlar ile daha olasılıksal modeller arasında ayrım yapmanın bir yolunu buldular.

“Araştırmalarımın çoğu oldukça incelikli olasılıksal problemleri anlamaya çalışarak ilerliyor […] ve sonra elde edilen içgörüleri sayı teorisi tarafındaki şeyleri gerçekten kanıtlamak için kullanın” diye açıklıyor Harper: 2023’teasal sayıların sayılmasında “karekökün ötesinde” iptal olarak bilinen şeyi tahmin etti. Ancak bu yıl önsezisi en azından bir dereceye kadar doğrulandı: Eylül ayında Victor Wang ve Max Xu bir kağıt çıkarmak Möbius fonksiyonu için Legendre’nin varsayımının bir benzerini neredeyse kanıtlamak için Harper’ın yöntemlerini kullanıyor.

“Wang ve Xu […] kavrulmuş[ed] Harper, çok güçlü iki varsayım daha olduğunu açıklıyor, ancak “bu varsayımları zayıflatabilir veya ortadan kaldırabilirsek harika olurdu.”

IFLScience’a şunları söylüyor: “Bu kesinlikle zorlayıcı olacak ama bana keşfedilecek oldukça umut verici bir yön gibi görünüyor. Sorun artık savunulamaz görünmüyor.”

Nereye gidiyoruz?

Peki ya Büyükler? Örneğin Riemann hipotezi bu noktada 160 yılı aşkın bir süredir açık bir sorundur ve buna hiçbir zaman karar verilemeyeceğini düşünmek cazip gelebilir. Ancak uzmanlar daha iyimser: “Şuna eminim ki […] Maynard, “Riemann Hipotezi doğru olmalı” diyor ve “bunun iyi bir nedeni var; bunun ne olduğunu bilmiyoruz ve muhtemelen bunun hakkında düşünecek doğru matematik mekanizmasına da sahip değiliz.”

“Fakat eminim ki bir kanıt devrim niteliğinde olacaktır,” diye ekliyor, “daha az çünkü şu ifade […] ama daha fazlası, çünkü kanıt kesinlikle asal sayıları şu anda anladığımızdan çok daha derin şekillerde anlayacak yeni bir araç seti sunacaktır. Alanı muhtemelen tahmin edilmesi çok zor olacak şekilde tamamen değiştirecek olan şey bu yeni anlayıştır.”

Bu çığır açıcı varsayımın kanıtı henüz çok uzakta olsa da – elbette asla bilemezsiniz; Harper’ın işaret ettiği gibi, Fermat’ın Son Teoreminin, ta ki o ana kadar tamamen imkansız olduğu düşünülüyordu. Andrew Wiles 1993 yılında birdenbire çözümünü duyurdu; bu, “yolculuğun varış noktasından daha önemli olduğu” boş bir basmakalıp sözden daha fazlası olan bir alandır. Harper, IFLScience’a şunları söyledi: “Riemann Hipotezinin kanıtını elde etmenin asıl amacı, bunun gerektireceği yeni fikirlerdir.”

“Ve bunun kodlayacağı yeni anlayış” diye ekliyor. “Sadece asal sayıların çok iyi davrandığından emin olmakla kalmıyoruz, aynı zamanda neden bunu yapmaya zorlandıklarını da biliyoruz.”